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哥德巴赫猜想

[ 信息发布:本站 | 发布时间:2018-07-12 | 浏览:521 ]

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)大致可以分为两个猜想(前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想,后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想):1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和;2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

哥德巴赫介绍

哥德巴赫(Goldbach ]C.,1690.3.18~1764.11.20)是德国数学家;出生于格奥尼格斯别尔格(现名加里宁城);曾在英国牛津大学学习;原学法学,由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣;曾担任中学教师。1725年,到了俄国,同年被选为彼得堡科学院院士;1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书;1742年,移居莫斯科,并在俄国外交部任职。

哥德巴赫猜想的由来

1729年~1764年,哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中,哥德巴赫提出了一个命题。他写道:"我的问题是这样的:随便取某一个奇数,比如77,可以把它写成三个素数(就是质数)之和:77=53+17+7;再任取一个奇数,比如461,461=449+7+5,也是三个素数之和,461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。这样,我发现:任何大于5的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢?虽然做过的每一次试验都得到了上述结果,但是不可能把所有的奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是个别的检验。"欧拉回信说:“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题:任何一个大于2的偶数都是两个素数之和,但是这个命题他也没能给予证明。不难看出,哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上,任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式:2N+1=3+2(N-1),其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立,则偶数2N可以写成两个素数之和,于是奇数2N+1可以写成三个素数之和,从而,对于大于5的奇数,哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

众多数学家都采用的偶数哥猜求解公式:r(N)≈{2∏[(p-1)/(p-2)]∏[1-1/(P-1)^2]}·{N/(LnN)^2}。数学家得到前一参数≥1.3,有后一参数≥1,就可得到r(N)≥1。把“数与其对数平方数的比”,转换为“幂数与指数平方数的比”,使人容易理解N/(LnN)^2的大小。自然对数(LnN)的底为e=2.71828....,设N=e^m,则:N/(LnN)^2=(e^m)/(m^2)。例如:2.71/(1),7.38/(4),20.1/(9),(e^4)/(16),..,(e^8)/(64)=(e^8)/(2^6),...,(e^16)/(256)=(e^16)/(2^8),...,因为:分子为e^m,分母为2^(小于m的数),分子>分母,{(e^m)/(m^2)}大于一,证明{N/(LnN)^2}大于一。

利用“常用对数及幂的指数与位数”,有换底公式:LnN=(2.3...)LgN。[Ln(10^m)]^2=(2.3m)^2。1/Ln10=0.4342...,有10/(2.3^2),(10^2)/[(2.3^2)(2^2)],1000/[(2.3*3)^2],[10^(4.34)/[(2.3*4.34)^2]≈10^(4.34-2),..,(10^43.4)/[(2.3*43.4)^2]≈10^(43.4-4),..,(10^434)/[(2.3*434)^2]≈10^(434-6),..,...,因为:分子为10^m,幂的指数为0.4342..小数点右移几位时,其分数运算值约为10底的幂,其指数为m有几位数,指数就减少几的2倍,但是其位数没减少。换句话说,N=(10底的幂),其指数为(变动位数的换底系数的补数)时,N/(LnN)^2的运算结果,竟是“指数的位数没变,仅有低位码数减少一点”。即:N的位数与{N/(LnN)^2}的位数差距很有限。哥德巴赫的解扩充到幂数与指数平方数的比。用数的位数比较,可得到直观的数量解,如43位数,可有39位数的解,电子计算机现今才验证到20位数的数,公式没错误。

进展

1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被1和它本身整除的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对3564以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。

从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可即的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情,历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者,殚精竭虑,费尽心机,然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是科学史上最传奇的历史(详见百度哥德巴赫猜想传奇)。

到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:每一个比5大偶数n(不小于6)的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积,简称9+9。 需要说明的是,这个9不是确切的9,而是指1,2,3,4,5,6,7,8,9中可能出现的任何一个。又称为“殆素数”,意思是很像素数。与哥德巴赫猜想没有实质的联系。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了哥德巴赫猜想。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理:“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积。”

在陈景润之前,关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:

1920年,挪威的布朗证明了“9 + 9”。

1924年,德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。

1932年,英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。

1937年,意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。

1940年,苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。

1948年,匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”,其中c是一很大的自然数。

1956年,中国的王元证明了“3 + 4”。

1957年,中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。

1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”, 中国的王元证明了“1 + 4”。

1965年,苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫,及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。

1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。